<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S4}{IV-4  Notion de base ralisable} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-4-3  Base dgnre</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}</div>

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


Une solution de base ralisable 
\( y = \left ( \begin{matrix} B^{-1}b\\0_N\end{matrix} \right ) \)
est dite <font color = "orange">dgnre</font>  , si en plus des \( (n - m) \) composantes
nulles relatives  \( 0_N \), il existe une composante du vecteur 
\( B^{-1}b \) qui est nulle. Elle est <font color = "orange">non dgnre</font>  <a name="solution de base!dgnre">
dans le
cas o toutes les composantes de \( B^{-1}b \) sont non nulles et par
suite strictement positives. De mme, on dit qu'une base
ralisable est dgnre si la solution de base associe
est dgnre. Il est intressant de noter qu'un
point dgnr est solution de plusieurs bases ralisables.
En effet, tout vecteur colonne \( u = B^{-1}b \) relatif  une base
dgnre \( B \) admet au moins une coordonne
\( u_{i_0} \), \( i_0\in J_B \), qui est nulle. En considrant que
\( B = (M_i,\; i\in J_B) \), on obtient
<p class="math">\( u = B^{-1}b \Leftrightarrow Bu = b \Leftrightarrow \sum_{i\in J_B}u_i
M_i = b\)</p>
<p class="math">\(\Leftrightarrow \sum_{i\in J_B \backslash \{i_0\} }u_i
M_i = b\)</p>
car \( u_{i_0} = 0 . \)
Dans la matrice \( B \), nous allons remplacer le vecteur colonne \( M_{i_0} \)
par un autre vecteur \( M_{j_0} \) pour \( j_0\in J_N \) de sorte que la 
matrice \( B' \) ainsi obtenue soit inversible. Il est clair que \( u \) est
solution du systme linaire \( B'x = b \), tant donn que 
<div class="math">\(\sum_{i\in J_B \setminus \{i_0\} }u_i M_i+0M_{j_0} = b .\)</div>
Cette solution
est unique en raison de la rgularit de la matrice \( B' \). Donc,
les deux bases ralisables \( B \) et \( B' \) donnent toutes les deux la 
mme solution de base \( \left ( \begin{matrix} u\\0_N\end{matrix} \right ) \).</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S4S1}{IV-4-1  Systme de base}

\link{mainS4S4S2}{IV-4-2  Optimalit et base ralisable}

<div class="right_selection">\link{mainS4S4S3}{IV-4-3  Base dgnre}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>