<div class="exo">    
Soit \( \displaystyle f:[-1,1]\longrightarrow\mathbb R \) une fonction de classe \( \mathcal{ C}^2 \). On
considre la mthode d'intgration numrique approche
donne par <div class="math">\(\displaystyle\int^1_{-1}f(x)\;dx\simeq f(-w)+f(w), \; \mbox{
  avec } w \in [0, \;1]\)</div>
<ol><li>  Calculer l'ordre de cette mthode en fonction de \( w \).
 </li><li>  On se place dans le cas o cette mthode est d'ordre \( 1 \).
<ol><li>  Calculer le noyau de Peano \( G_1(t) \) et tracer le graphe de \( G_1 \) pour \( \displaystyle w={5\over 8} \). Pour quelles valeurs de \( w \) le noyau \( G_1 \) est-il de signe constant?
 </li><li>  Montrer que l'erreur \( \displaystyle
  E(f)=\int^1_{-1}f(x)\;dx-f(-w)-f(w) \) vrifie la majoration 
  <div class="math">\(\displaystyle |E(f)|\leq C(w)\mathop{\sup}_{\xi\in [-1,1]}(|f''(\xi)|)\)</div>
  o \( C(w) \) est une constante dont on dterminera la valeur optimale
<ol><li>  lorsque \( G_1 \) est de signe constant.
 </li><li>  lorsque \( \displaystyle w={5\over 8} \).
 </li></ol>
 </li></ol>
 </li></ol>
</div> 