\def{text champg=random(champ de gradients, champ conservatif, champ drivant d'un potentiel)}
\def{integer n=randint(2..4)}
<font size=-1>Prenez la dimension alatoire \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" 
width="20" height="20">}
 ou \form{.}{expform}{ou choisissez la dimension n infrieure  7 <input size=6 
 name=parm1 value="\parm1">
<input type=hidden value=OK>} 
</font>\def{integer value=\parm1}
\def{integer  n=\value issametext NaN ? \n:min(7,\value)}

 Soit F=\if{\n=2}{(P,Q)}{(F<sub>1</sub> \for{i=2 to \n}{,F<sub>\i</sub>})}
  un \link{gradient}{champ de gradient} \(C^1) sur un ouvert  \(\mathcal
U) de
 \(\RR^{\n})\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}(on dit aussi 
 <span class="defn">champ drivant d'un potentiel
</span>  ou <span class="defn">champ conservatif </span> ) 
sur un ouvert  \(\mathcal
U) de
 \(\RR^{\n}).
  Il existe  une fonction  \(f )  \(C^2) sur  \(\mathcal U)  valeurs dans  \(\RR)   telle que 
  grad f= F. 
  Alors  on a 
<center> \if{\n=2}{\(
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y})
}{\for{i=1 to \n}{\for{j=1 to \i-1}{
	\(\frac{\partial F_\i}{\partial x_\j}=\frac{\partial F_\j}{\partial x_\i},)
}
}
}
</center>
En effet, on a \if{\n=2}{
<center> \(P=\frac{\partial f}{\partial x}, Q= \frac{\partial f}{\partial y}) et 
\(
\frac{\partial P}{\partial y}- \frac{\partial Q}{\partial x} =  
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x\partial y}=0)</center>
}{pour \(i)  et \(j)  compris entre 1 et \n, 
<br><center>\(F_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}) et 
\(
\frac{\partial F_i}{\partial x_j}- \frac{\partial F_j}{\partial x_i} =  
\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}-\frac{\partial f}{\partial x_j\partial y_i}=0)
</center>}
par le
\fold{schwarz}{<span class="defn">thorme de Clairaut-Schwarz</span>}


On aimerait avoir une rciproque. Mais cela dpend de la forme de l'ouvert. 