\def{integer m=\parm1}
\def{integer n= randint(2..5)}


Un autre paramtrage de  \(\mathcal C) est donn par  \(C=c\circ \varphi) 
o  \(\varphi : J\to I) 
est une bijection, 
drivable, de drive non nulle,  croissante. 
Ce qu'on appelle aussi un <span class="defn">diffomorphisme </span> 
conservant l'orientation de la courbe. 

Calculons l'intgrale curviligne de \if{\m=2}{\alpha=F<sub>1</sub>dx<sub>1</sub>
\for{i=2 to \n}{+ F<sub>\i</sub>dx<sub>\i</sub>}
}
{
 F=(F<sub>1</sub>\for{i=2 to \n}{, F<sub>\i</sub>
}) 
} en utilisant le paramtrage 
 \(c \circ \varphi) (cas d'un champ de vecteurs sur  \(\RR^\n))
 \link{.}{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}{}{parm1=\m}
:
<center> \(
\int _J F(c \circ \varphi(t))\cdot \frac{d(c \circ \varphi)}{dt}(t)\  dt =
)<br>\( = \int _J)(
F<sub>1</sub>(c o \varphi(t))\varphi'(t)c'<sub>1</sub>(\varphi(t))
\for{i=2 to \n}{+F<sub>\i</sub>(c o \varphi(t))\varphi'(t)c'<sub>\i</sub>
(\varphi(t))
})dt =
<br>\(=\int _J)\varphi'(t)(F<sub>1</sub>(c o \varphi(t))c'<sub>1</sub>(\varphi(t))
\for{i=2 to \n}{+F<sub>\i</sub>(c o \varphi(t))c'<sub>\i</sub>
(\varphi(t))
}) dt

</center>
On fait le changement de variables  \(s=\varphi(t)) : on obtient
<center>
=\(\int _I )(
F<sub>1</sub>(c)c'<sub>1</sub>(s)
\for{i=2 to \n}{+F<sub>\i</sub>(c(s))c'<sub>\i</sub>
(s)
})ds = \if{\m=2}{\(\int_{\mathcal C} \alpha)}{\(\int_{\mathcal C} F. dM)}
</center>

O est cache l'utilisation de la croissance de   \(\varphi) ? La formule de changement de variables est
<center> \(
\int_{a}^{b} g(\varphi(t))\varphi'(t)dt= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(s)ds
). 
</center>

L'criture  \(\int_J) pour  J=[a,b] signifie  \(\int _a^b ) avec  \(a\leq b). Lorsque  \(\varphi)
est dcroissante, l'intervalle  \(\varphi(J)) est l'intervalle  \([\varphi(b), \varphi(a)]). Pour
 \(\varphi) dcroissante, on a donc la formule 
<center> \(
\int _J F(c \circ \varphi(t))\cdot \frac{d(c \circ \varphi)}{dt}(t)\  dt = -\int _I F(c(s)
)\cdot\frac{dc}{ds}(s) ds).
</center>
On dduit de ce calcul que
<div class="thm"> la dfinition de l'intgrale curviligne  a bien un sens,  condition de considrer 
le chemin  \(\mathcal C), 
comme orient : "on parcourt la courbe de l'extrmit  \(A=c(a)) vers l'extrmit  \(B=c(b))".</div>