
<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex">
Soit \( E=\mathbb R^4 \) ,
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q(x,y,z)&=&  xy+xz+yz+zt

\\
        &=&  (x+z)(y+z)-z^2+zt

\\
        &=&  {1\over 4}(x+2z+y)^2 -{1\over 4}(x-y)^2 -\left(z-{1\over 2}t\right)^2 +{1\over 4}t^2\\
\end{matrix} \)</p>
Soient 
<div class="math">\(\left\{\matrix{\ell_1(x,y,z,t)=x+2z+y \hfill\cr 
\ell_2(x,y,z,t)=x-y \hfill\cr 
\ell_3(x,y,z,t)=z-{1\over 2}t \hfill\cr 
\ell_4(x,y,z,t)=t}\right . \)</div>
La famille \( (\ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_4) \) est une base de l'espace dual \( E^{\ast} \) de \( E \).
Posons 
<div class="math">\(\left\{\matrix{x'= x+2z+y \hfill\cr
y'= x-y \hfill\cr
z'= z-{\over 2}t \hfill\cr
t'= t }\right . \)</div>

On a <div class="math">\( q(x', y',z')={1\over 4}x'^2-{1\over 4}y'^2-z'^2+{1\over 4}t'^2\)</div>
donc si \( P\in M_4(\mathbb R) \) tel que 
<div class="math">\(\left(\begin{matrix} 
x'\\ y'\\ z'\\ t'\\
\end{matrix} \right)=P^{-1}
\left(\begin{matrix} 
x\\ y\\ z\\ t\\
\end{matrix} \right)\)</div>
les vecteurs de composantes les colonnes  \( P \) forment une base orthogonale par rapport  \( q \). 
Une base orthogonale par rapport  \( q \) est alors \( (v_1, v_2, v_3, v_4) \) o 
<div class="math">\(v_1 =\left({1\over2},1,0,0\right) ,\)</div>
<div class="math">\(v_2 = \left({1\over2},-1,0,0\right),\)</div>
<div class="math">\(v_3 = \left(-{1\over2},-{1\over2},1,0\right)\)</div> et
<div class="math">\(v_4 = \left(-{1\over2},-{1\over2},1,1\right) .\)</div>

</div>