<div class="dem">    
 On raisonne par rcurrence sur  la dimension de \( E \).

pour \( n=1 \). Soit \( (e_1) \) une base de \( E \), tout vecteur \( x\in E \) s'crit  
\( x = x_1e_1 \), donc \( q(x) = q(e_1)x^2_1 \)  et alors  \( q(e_1)=\alpha\not =0 \) car \( q\not=0 \). 
On choisit dans ce cas
<p class="math">\(\begin{matrix} 
\ell_1 : E  &\rightarrow& \mathbb R\\
 x_1e_1 &\mapsto & x_1
\end{matrix} \)</p>
Soit \( n\geq 2 \), supposons le rsultat vrai pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension \( p\leq n-1 \) et soit \( q \) une forme quadratique de \( E \).Soit \( B=(e_1,e_2,\cdots,e_n) \) une base de \( E \), on sait que 
<div class="math">\(\forall  x\in E, q(x)=\sum^n_{i=1}a_{i,i}\;x^2_i+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{i,j}\;x_ix_j\)</div>

<ul class="desc">
</desc_item></li><li>
\fold{mainS3S1F_desc_item1}{<span class="enum_item">Premier Cas  :</span>

}

</li><li>
\fold{mainS3S1F_desc_item2}{<span class="enum_item">Deuxime  Cas :</span>

}

</li></ul>
</div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>