<div class="enum_item">Supposons qu'il existe \( r' \) et \( s' \) dans \( \mathbb N \) et \( (v'_1,\cdots ,v'_n) \) une base de \( E \) orthogonale par rapport  \( q \) telle que 
<div class="math">\( q\left(\sum^n_{i=1}x'_iv'_i\right)=x'^2_1+\cdots +x'^2_{r'}-x'^2_{r'+1}\cdots -x'^2_{r'+s'}\)</div>
on a  \( r'+s' =  {\rm rg\, } M = r+s \).

Vrifions que \( \{v_1,\cdots v_r,v'_{r'+1},\cdots v'_n\} \) est un famille libre de \( E \).

Supposons que \( \alpha_1 v_1+\cdots +\alpha_rv_r+\beta_1 v'_{r'+1}+\cdots +\beta_{n-r'}v'_n=0 \)

On aura alors \( q\left(\sum^k_{i=1}\alpha_i v_i\right)=q\left(-\sum^{n-r'}_{i=1}\beta_i v'_{r'+i}\right) \). On en dduit,
 <div class="math">\(\alpha^2_1+\cdots +\alpha^2_r=-\beta^2_1\cdots -\beta^2_{s'}.\)</div> 

et par suite \( \alpha_1=\cdots =\alpha_r=\beta_1=\cdots\beta_{s'}=0 \).
Comme \( \{v'_{r'+s'+1},\cdots v'_n\} \) est une sous-famille d'une famille libre alors \( \beta_{s'+1}=\cdots\beta_{n-r'}=0 \).
       
 La famille  \( \{v_1,\cdots v_r,v'_{r'+1},\cdots v'_n\} \) est donc libre. Par suite, 
 son cardinal \( r + n - r' \) est major par la dimension de \( E \) alors on a \( r\leq r' \).


On montre de la mme faon que \( r'\leq r \) on en dduit \( r = r' \) puis \( s = s'. \)
</div>