<div class="dem">Dfinissons une fonction sur \(M_n(K)) provisoirement appele
<font color=blue><b>det<sub>i</sub></b></font> par la formule 
<center><font color=blue><b>det<sub>i</sub></b></font> \(A = )\(\sum_{j=1}^n) 
\((-1)^(i+j)a_(ij) )<font color=green><b>det</b></font>\( A_(ij)) . 

 </center>
<a name="matrice">
(dveloppement par rapport  la \(i)-ime ligne) : 
\def{integer n=randint(3..5)}
\def{integer j=randint(1..\n)}
\def{text A=<font size=-1><table align="center" border=1>}

\for{i=1 to \n}
{
\if{\i<>\j}{
\def{text A= \A
<tr align="center">wims(makelist <td>a<sub>\i k</sub></td> for k=1 to \n)
</tr>}}
{\def{text A= \A
<tr align="center" bgcolor="antiquewhite">wims(makelist <td><font color="red">a
<sub>\j k</sub></font></td>
 for k=1 to \n)</tr>}
}
}
\def{text A= \A </table></font>}
\def{text A=wims(replace , by in \A)}

\def{text special=wims(nospace \ special)}
\def{text A=}

\for{i=1 to \n}
{
\if{\i<>\j}{
\def{matrix A= \A
wims(makelist a_{\i k} for k=1 to \n)}
}
{\def{matrix A= \A
\special{color=red}wims(makelist a_{\i k} for k=1 to \n) \special{color=black}}
}
}
\def{text A= slib(text/matrixtex [\A],lvert,rvert)}
<div class="aide">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}{matrice}
pour \(i=\j) :

<center>\(\A)=
\def{text Aa=}
\for{i=1 to \n}
	{\def{matrix Aa= \Aa
wims(makelist a_{\i k} for k=1 to \n)}
	}
\def{text liste=wims(values x for x=1 to \n)}
\for{k=1 to \n}
{ \if{\k>1}{+}\(\special{color=red}(-1)^{\j+\k}a_{\j \k}\special{color=black})
\def{text listl=wims(replace internal item number \j by in \liste)}
\def{text listc=wims(replace internal item number \k by in \liste)}
\def{text listl=wims(nonempty items \listl)}
\def{text listc=wims(nonempty items \listc)}
\def{matrix C=\Aa[\listl;\listc]}
\def{text C=slib(text/matrixtex [\C],lvert,rvert)}
\(\C)}
</center>
</div>
Elle vrifie \((D_1)) : \fold{justification1}{justification} 

Elle vrifie \((D_2)) : \fold{justification2}{justification} 

Elle vrifie \((D_3)) : \fold{justification3}{justification} 


L'unicit prouve de plus que les fonctions <font color=blue><b>det<sub>i</sub></b></font> ainsi dfinies sont tous gales. 