La mthode de Gauss est la plus efficace en particulier pour la 
programmation mais l'utilisation des dterminants peut avoir son 
intrt pour les petits systmes ou les questions thoriques.
\fold{}{Pour en savoir plus.}{
 <p class="p3">D'un point de vue algorithmique, la mthode de Gauss est plus gnrale puisque elle permet de rsoudre les systmes non carrs ou singuliers. Elle est aussi plus rapide ds que les dterminants ne se calculent pas de tte : elle rsoud un systme linaire \(n x n) en \(Cn^3) oprations dans le corps \(K) (additions, multiplications, divisions), pour une petite constante \(C). Celle de Cramer requiert le calcul de \(n + 1)
dterminants, qu'un algorithme <i>naf</i> calculera  l'aide de la ... mthode de
Gauss, en \(Cn^4) oprations donc.
Par exemple pour \(n=50), un ordinateur qui effectue un milliard d'oprations par seconde mettra  environ \(5.10^{49}) annes pour faire le calcul avec la mthode de Cramer et \(10^{-4}) seconde avec une mthode mieux adapte. (D'aprs <i>Algbre linaire numrique</i> de G. Allaire et S.M.Kaber Ellipses)</p>}
<h2> Rang </h2>
<div id="thm">Le rang \( r ) du systme est aussi l'ordre des plus grands dterminants non nuls 
extraits de sa matrice. </div>

On garde les notations prcdentes ; quitte  changer l'ordre des quations et des inconnues, on peut 
supposer que le dterminant 
\( D=\begin{vmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} &  \dots &  a_{1,r}\\
    a_{2,1} & a_{2,2} &  \dots & a_{2,r} \\
   \hdotsfor{4}  \\
   a_{r-1,1} & a_{r-1,2} & \dots & a_{r-1,r} \\
   a_{r,1} & a_{r,2} & \dots & a_{r,r} \\
\end{vmatrix} )
n'est pas nul. En termes de vecteurs colonnes, ceci signifie que les 
les vecteurs \( u_1 ), \( u_2 ),\ldots, \( u_r ) sont linairement 
indpendants alors que pour \( j = r+1,..., n ), \( u_j ) est combinaison linaire des 
vecteurs \( u_1 ), \( u_2 ), ... , \( u_r ).

<h2> Compatibilit </h2>
<div id="thm">Le systme est compatible si et seulement si le vecteur second 
membre \( b ) est combinaison linaire des \( u_1 ), \( u_2 ),..., \( u_n ).
Les coefficients d'une telle combinaison forment une solution du systme.</div>

On peut traduire cette condition de plusieurs faons quivalentes :
<ul>
<li>La matrice \( A\vert b ) a le mme rang que \( A ).
(La matrice \( A\vert b ) est la matrice  \( p ) lignes et \( n+1 ) colonnes obtenue 
en accollant  la colonne second membre  la 
matrice \( A ) .)</li>

<li>Le vecteur \( b ) est combinaison linaire des \( u_1 ), \( u_2 ), ... , \( u_r ).
</li>

<li>
Pour \( i = r+1, ..., p ), le dterminant \( \Delta_i ) <b> 
bordant</b> de \( D ) est nul :
<center>\( \Delta_i=\begin{vmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} &  \dots &  a_{1,r}&b_1\\
    a_{2,1} & a_{2,2} &  \dots & a_{2,r} &b_2\\
   \hdotsfor{5}  \\
   a_{r-1,1} & a_{r-1,2} & \dots & a_{r-1,r}&b_{r-1} \\
   a_{r,1} & a_{r,2} & \dots & a_{r,r} &b_r\\
   a_{i,1} & a_{i,2} & \dots & a_{i,r} &b_i
\end{vmatrix} )</center>
Le dterminant \( \Delta_i ) est obtenu en bordant \( D ) avec la colonne du 
second membre et la \( i )-me ligne.
Il y a \( p-r ) dterminants bordants, on retrouve les \( p-r ) conditions 
de compatibilit.</li>
</ul>
\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/dialmatrix.fr&exo=solnum&qnum=1&qcmlevel=3}{exercice}

<h2> Formules de Cramer </h2>

On peut exprimer les solutions d'un systme de Cramer  l'aide des 
formules de Cramer :
<div id="thm">On note \( D ) le dterminant de la matrice du systme (on rappelle qu'un 
systme de Cramer est carr) et \( D_j ) le dterminant calcul en 
remplaant dans \( D ) la \( j )-me colonne par le second membre :
<center>\( D_j=\begin{vmatrix}
    a_{1,1} &\dots & a_{1,j-1} &b_1&   a_{1,j+1}&\dots &  a_{1,n}\\
    a_{2,1} & \dots &a_{2,j-1} &b_2&  a_{2,j+1}&\dots & a_{2,n} \\
   \hdotsfor{7}  \\
   a_{n-1,1} & \dots &a_{n-1,j-1} &b_{n-1}& a_{n-1,j+1} &\dots & a_{n-1,n} \\
   a_{n,1} & \dots &a_{n,j-1}  &b_n &a_{n,j+1}  &\dots & a_{n,n} 
\end{vmatrix} )</center>

L'unique solution du sytme est \( (s_1,\ldots, s_j ,\ldots, s_n) ) o \( s_j ) 
vaut \( \frac{D_j}{D} ).</div>

Ces formules peuvent tre efficaces pour conserver les symtries d'un 
systme linaire. <br>\fold{cramer}{<b>Exemple</b>}
<p>
<b>Remarque :</b> Ces formules peuvent tre utilises pour rsoudre n'importe quel systme compatible, par exemple pour calculer une solution particulire. En effet
on a vu que tout systme linaire compatible peut tre considr comme un 
systme de Cramer pour peu qu'on passe les inconnues secondaires dans 
le second membre et qu'on les considre comme des paramtres. Une 
solution particulire est obtenue en annulant tous ces paramtres.