<h2>Systme linaire</h2>
<div id="def">  Soient  \( p\geq 1 )  et \( n\geq 1 ) deux 
nombres entiers. On appelle <b>  systme linaire de \( p ) quations </b> 
(scalaires) <b>    \( n ) inconnues  coefficients dans un corps \( K ) </b> un 
ensemble d'quations de la forme \( (S) ) :
<center>\( 
(S) \left\{\begin{array}{rcrcrcl}
a_{1,1}x_1&+&\cdots&+&a_{1,n}x_n&=&b_1\\
a_{2,1}x_1&+&\cdots&+&a_{2,n}x_n&=&b_2\\
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots \\
a_{p,1}x_1&+&\cdots&+&a_{p,n}x_n&=&b_p
\end{array}
\right. \)</center>
o :
<ul>
	<li>  les \( a_{i,j}, 1\leq i\leq p, 1\leq j\leq n ) sont des 
scalaires dans  \( K ), appels les <b>  coefficients </b> du systme ;</li>

<li> les vecteurs \(u_j=(a_{1,j},a_{2,j},\cdots,a_{p,j})) de \(K^p, 1 \leq j\leq n)
sont les <b> vecteurs colonnes</b> du systme ;</li>

	<li>  les \( b_{i}, 1\leq i\leq p ), sont des scalaires dans  \( K ), 
appels les <b>   seconds membres </b> du systme ;
	 le n-uplet \( b=(b_1,\cdots,b_p) ) de  \( K^p ) est le  <b>  
second membre </b> du systme ;</li>

	<li>   les \( x_i, 1\leq i\leq n ) sont les <b>  inconnues </b>, que l'on 
cherche dans \( K ) ;
	 \( (x_1, \ldots ,x_n)\in K^n ) est le <b>  n-uplet inconnu </b> ; </li>
	  
	<li>  la <b>  matrice \( p\times n \)  coefficients dans K </b> :
	<center>\( A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots  & a_{2,n} \\
\vdots  & \vdots & \vdots  & \vdots \\
a_{p,1} & a_{p,2} & \ldots & a_{p,n} 
\end{array}
\right)\)</center> 
est appele <b>  la matrice du systme linaire </b> \( (S) ).
Soit \( B=(b_i)_{1\leq 
i\leq p} ) le vecteur colonne second membre de \( (S) ).
L'criture matricielle du systme est \( AX=B ), c'est--dire :
<center>\( \left(\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a
_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots  & a_{2,n} \\
\vdots  & \vdots & \vdots  & \vdots \\
a_{p,1} & a_{p,2} & \ldots & a_{p,n} 
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_p
\end{array}
\right)\)</center></li></ul></div>
<p>
<h2>Solution et compatibilit</h2>

<div id="def">
<ul><li>
Un \( n )-uplet \( (x_1, \ldots ,x_n)\in K^n ) est une <b>  solution </b> de 
\( (S) ) si elle vrifie les \( p ) quations du systme ;
</li>
<li> Rsoudre \( (S) ) c'est dcrire l'ensemble \( \mathcal S ) des solutions de \( (S) ) ;</li>
<li>  Le systme \( (S) ) est <b>compatible</b> s'il admet au moins une solution ; 
 sinon, \( (S) ) est dit <b>incompatible</b> ;</li>
 <li>   On dit que \( S ) est un <b>systme homogne</b> si le  
second membre \( b ) est nul ;</li>
<li>Le systme linaire obtenu lorsqu'on remplace dans \( (S) ) le n-uplet
\( b ) par le n-uplet \( (0,\dots,0) ) s'appelle le systme homogne <b>  associ  
\( (S) ) </b> .</li></ul></div>
<h2>Proprits</h2>
<div id="thm"><ul>
    <li> Un systme homogne est toujours compatible 
puisqu'il admet le n-uplet \( (0, \dots,0) ) comme solution.</li>
<li> L'ensemble des solutions d'un systme homogne est 
un sous-espace vectoriel.</li>
<li> Si \( s_1 ) et \( s_2 ) sont  des solutions d'un systme linaire 
\( (S) ), \( s_1-s_2 ) est une solution du systme homogne associ \( (S_0) ).</li>
<li> Si \( s ) est une solution d'un systme linaire \( (S) ), alors on 
obtient toutes les solutions de \( (S) ) en ajoutant  \( s ) les solutions 
du systme homogne associ \( (S_0) ), c'est--dire :
<center>\( \mathcal{S}=s+\mathcal{S}_0. )</center>
L'ensemble des solutions de \( (S) ) est donc le sous-espace affine 
de \(\RR ^n)
passant par \(s) et de direction \(\mathcal{S}_0).</li>
</ul></div>
On peut considrer chaque quation du systme comme l'quation d'un 
hyperplan affine, l'ensemble des solutions du systme est alors 
l'intersection des \(p) hyperplans affines.
La question de la compatiblit d'un systme linaire est donc
fondamentale. Un systme homogne est toujours compatible, en effet 
une intersection de sous-espaces vectoriels n'est jamais vide. Si le 
systme n'est pas homogne, il reprsente une intersection de 
sous-espaces affines qui peut  tre vide dans le cas d'un systme 
incompatible.

<h2>Exercices</h2>
\exercise{cmd=new&module=H6/algebra/oeflinsys.fr}{Exercices simples 
de modlisation}