Lorsque \(a) n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors <span class="defn"> diviseur de zro</span>, c'est--dire que 
<p align="center"> \(a) \times \(b) \equiv 0 mod \(n) pour un entier \(b). 
</p>

<div class="thm"> <span class="thm"> Proposition : </span> Dans \ZZ/\(n)\ZZ, \(a) est un diviseur de zro si et seulement si \(a) n'est pas premier avec \(n). 
</div>
<p>

\fold{demdiv0}{<span class="dem"> Dmonstration. </span>} 
<p>
\def{integer n=randint(3..7)*randint(2..6)}
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" 
width="20" height="20">}
<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple : </span> Pour \(n = \n)
<table align="center" border=1>
\def{integer n1=\n%2=1?floor(\n/2):\n/2-1}
\for{a=0 to  \n1}{
\def{integer a2=\a+\n1+1}
\def{text b=pari(c=gcd(\a,\n); u1=if(c==1, lift(Mod(\a,\n)^(-1)),\n/c); 
c=gcd(\a2,\n); u2=if(c==1, lift(Mod(\a2,\n)^(-1)),\n/c); 
[u1,u2])}
\def{text b1=item(1,\b)}
\def{text b2=item(2,\b)}
 \if{gcd(\a,\n)>1}{<tr bgcolor="red"><td align="center">\(a) = \a </td>
<td align="center">\a \times \b1 \equiv 0 mod \n </td>
<td align="center">\(a) = \a2 </td>
<td align="center">\a2 \times \b2 \equiv 0 mod \n 
 }{<tr><td align="center">\(a) = \a </td>
<td align="center">\a \times \b1 \equiv 1 mod \n</td>\if{\a2<\n}{<td align="center">\(a ) = \a2 </td><td align="center">\a2 \times \b2 \equiv 1 mod \n
 }}</td></tr>
}
</table>
</div>

<div class="exercice"><span class="exercice">Exercice</span> : 
Diviseurs de zro 
\exercise{module=U1/arithmetic/modarith.fr&exo=divzero}{1}
\exercise{module=U1/arithmetic/modarith.fr&exo=divzero2}{2}
\exercise{module=U1/arithmetic/modarith.fr&exo=divzero3}{3}
</div>